AI 시대 공부법은
달라져야 합니다.

두 문제의 답은 \(\tfrac12\), \(\tfrac23\)입니다. 계산을 마치고 넘어가기 전에 잠깐 멈춰 봅시다. 혹시 눈으로 바로 보이는 것이 있을까요?

01. 먼저 정석 풀이로 확인해 봅시다

첫 식은 분모를 1로 보고, \(\sqrt{x^2+x}+x\)를 분자와 분모에 곱해 유리화합니다. 그러면 간단한 분수로 바뀝니다.

두 번째 식에서는 \(A=\sqrt[3]{x^3+2x^2+1}\), \(B=x\)로 놓습니다. 세제곱의 차 공식으로 근호를 다룰 수 있습니다.

분자와 분모를 \(x^2\)으로 나누면, \(A/x\to1\)이므로 분자는 2, 분모는 3으로 갑니다. 따라서 답은 \(\tfrac23\)입니다.

02. 제곱 모양을 만들면 답이 보입니다

이번에는 계산 대신 식의 모양을 보세요. \(x^2+x\)에 무엇을 더하면 완전제곱식이 될까요? \(\tfrac14\)만 더하면 됩니다.

\(x\)가 충분히 크면 오른쪽의 제곱근은 \(x+\tfrac12\)입니다. 여기서 \(x\)를 빼면 \(\tfrac12\)가 남습니다. 하지만 원래 식에는 \(\tfrac14\)가 없었지요. 이 차이를 정말 무시해도 될까요?

두 제곱근의 차를 유리화하면 다음과 같습니다.

분자는 고정되어 있고 분모는 한없이 커지므로 차이는 0으로 갑니다. 그래서 이 문제에서는 근호 안에 더한 상수가 최종 극한값을 바꾸지 않습니다.

03. 세제곱근에도 같은 생각을 적용합니다

\(x^3+2x^2+1\)을 \((x+c)^3\)과 비교해 봅시다. 전개했을 때 \(x^2\)의 계수는 \(3c\)이므로, \(3c=2\), 즉 \(c=\tfrac23\)로 정합니다.

원래 다항식과 앞의 두 항은 같고, 1차항과 상수항만 다릅니다. 두 다항식의 차이는 \(\tfrac43x-\tfrac{19}{27}\)입니다. 세제곱근의 차 공식으로 나누면 분모는 \(x^2\) 규모로 커지므로, 근호 밖의 차이는 0으로 갑니다.

따라서 원래 세제곱근은 극한 계산에서 \(x+\tfrac23\)과 비교할 수 있고, \(x\)를 빼고 남는 값은 \(\tfrac23\)입니다.

04. 두 문제를 하나의 규칙으로 연결합니다

\((x+c)^n\)을 전개하면 앞부분은 \(x^n+nc\,x^{n-1}\)입니다. \(x^{n-1}\)의 계수가 \(a\)인 식과 맞추려면 \(c=a/n\)으로 잡으면 됩니다. 이 공식은 증명 가능합니다.

조건: \(x\to+\infty\), 고정된 자연수 \(n\ge2\)이며, 생략된 항은 \(n-2\)차 이하의 다항식입니다. ‘작아 보이는 항을 전부 버린다’가 아니라, 근호를 씌운 뒤의 차이가 0으로 가는지 확인하는 것이 핵심입니다.

15년쯤 전, 기타를 조율하다가 수학과 음악 모두에 업적을 남긴 피타고라스가 생각나서 작은 의문을 가져 보았습니다. “도레미파솔라시도를 수학으로 표현할 수 있지 않을까?”

01. 기타가 알려 준 재료

기타 줄의 12번째 칸은 줄의 정확히 절반입니다. 누르고 튕기면 같은 음이 한 옥타브 높게 납니다. 줄이 절반이면 두 배 빠르게 떨리니, 높은 도의 주파수는 기존 도의 2배입니다.

7번째 칸은 줄을 약 \(\tfrac23\)로 줄입니다. 그러면 도와 가장 잘 어울리는 솔이 나옵니다. 솔의 주파수는 도의 \(\tfrac32\)배입니다.

그리고 건반을 보면 미–파, 시–도 사이에만 검은 건반이 없습니다. 이 두 곳만 반음이고, 나머지는 온음입니다.

02. 열쇠는 9/8

도의 주파수를 1이라고 합시다. 파에서 다섯 계단(파·솔·라·시·도)을 오르면 높은 도에 닿습니다. 도에서 솔까지 다섯 계단이 \(\times\tfrac32\)였으니, 파의 주파수는

파와 솔은 온음 관계이므로, 온음 한 칸은

이 열쇠로 나머지를 엽니다. 레 \(=\tfrac98\), 미 \(=\tfrac{81}{64}\), 라 \(=\tfrac{27}{16}\), 시 \(=\tfrac{243}{128}\). 세 가지 사실로 일곱 음을 모두 만들었습니다. 나중에 알고 보니 이 방법은 ‘피타고라스 음률’이라는 이름으로 전해져 오고 있었습니다.

03. 숫자 속에서 찾은 것

미의 \(\tfrac{81}{64}\)(1.266)를 가까운 \(\tfrac54\)(1.25)로 다듬어 봅시다.

작은 자연수의 비일수록, 귀는 ‘어울린다’고 느낍니다.

04. 그런데, 후배의 한마디

이 계산을 본 후배가 말했습니다. “사실 음계는 무리수 비율이죠.” 다시 기타를 보니 프렛 간격이 위로 갈수록 좁아집니다. 한 옥타브를 반음 12칸으로, 모두 같은 비율 \(r\)로 나눴기 때문입니다.

이렇게 나누면 7번째 칸의 솔은 1.498로, 제 계산의 1.5와 아주 살짝 다릅니다. 그래서 ‘약’ \(\tfrac23\)이었던 겁니다. 답은 처음부터 손에 든 기타에 새겨져 있었습니다.

수학과 음악 사이에서 질문을 던진 사람이 피타고라스였습니다. 이제는 여러분 차례입니다.

발표·탐구 과제로 더 깊이 다룬 전체 강의는 상담 때 보여 드립니다.

“더 열심히 공부했어야 했는데.” 이 문장에는 후회가 담겨 있습니다. 공부를 전혀 하지 않았다는 말이 아니라, 기대했던 만큼 열심히 하지 못했다는 뜻이지요.

01. 공식을 외웠는데, 왜 읽히지 않을까요?

가정법을 배우면 보통 ‘If + 과거형, would + 동사원형’, ‘If + had p.p., would have p.p.’부터 외웁니다. 하지만 형태를 기억하는 것과 문장을 이해하는 것은 다릅니다. 먼저 영어 화자가 어떤 상황에 있는지 생각해 봅시다.

02. ‘텐데’로 읽으면 생각의 흐름이 보입니다

우리말로도 ‘~했을 텐데’, ‘~할 수 있었을 텐데’, ‘~했어야 했는데’ 가 있습니다. 이 느낌을 떠올려 보시고 아래 문장들은 실현되지 않은 과거으로 읽어 보세요.

I would have bought it.

샀을 텐데. → 어떤 조건이 맞았다면 샀겠지만, 실제로는 사지 않았다는 뜻입니다.

I could have bought it.

살 수 있었을 텐데. → 살 기회나 능력이 있었지만, 그 가능성을 실현하지 못했다는 뜻입니다.

I should have bought it.

샀어야 했는데. → 사는 편이 옳았다고 뒤늦게 판단하며 후회합니다.

would는 조건이 맞았을 때의 결과, could는 가능했던 일, should는 했어야 할 일에 초점을 둡니다. 모두 같은 공식처럼 외우기보다, 말하는 사람이 어디에 마음을 두는지 구별하는 연습입니다.

03. if가 없어도 뜻을 읽을 수 있어야 합니다

You could have told me earlier.

더 일찍 말해줄 수 있었을 텐데. → 실제로는 일찍 알려주지 않았다는 아쉬움이 들립니다.

She would have succeeded.

성공했을 텐데. → 문맥에 생략된 조건이 이루어졌다면 성공했겠지만, 그렇지 못한 상황을 떠올립니다.

I should have studied harder.

더 열심히 공부했어야 했는데. → 자신의 지난 공부를 돌아보며 후회합니다.

if라는 단어만 찾지 말고, 실제 일어난 일과 화자가 상상하는 일의 차이를 찾으세요. 문법은 그 차이를 표현하는 도구입니다.

단, ‘조동사 + have p.p.’가 언제나 후회나 가정은 아닙니다. might는 과거에 대한 불확실한 가능성을 나타내기도 하고, 다른 조동사도 문맥에 따라 뜻이 달라집니다. 형태와 함께 상황을 읽어야 합니다.

04. 정답보다 이유를 말해 봅시다

“용기를 냈더라면 그녀에게 고백할 수 있었을 텐데.” 여기에는 would have, could have, might have, should have 중 무엇이 가장 자연스러울까요? 단어를 고르는 데서 끝내지 말고, 왜 그 표현이 상황에 맞는지 설명해 보세요.